νν κ΅μ‘κ³Όμ μμ μΌκ°ν¨μμ ν© κΌ΄μ΄ λμμμ λ, κ·Έκ²μ μ΅λλ μ΅μλ₯Ό ꡬνλ λ°©λ²μ μΌκ°ν¨μμ ν©μ±μ΄ μμ΅λλ€. (λ¬Όλ‘ , λ―ΈλΆν΄μ κ·Ήκ° μ°Ύμλ λμ§λ§ κ΅³μ΄...)
μΌκ°ν¨μμ ν©μ±μ΄λ 무μμ΄λ... κ·Έλ¬λκΉ μ΄λ° κ²μ λ§ν©λλ€.
$$a \sin \theta + b \cos \theta = \sqrt{a^2 + b^2} \sin (\theta + \alpha)$$
$$a \sin \theta + b \cos \theta = \sqrt{a^2 + b^2} \cos (\theta - \beta)$$
μ¦, κ°μ κ°λμ μΌμ°¨ μ¬μΈν¨μμ μ½μ¬μΈν¨μμ ν©μ νλμ μΌκ°ν¨μλ‘ ννν μ μλ€λ κ²μ΄μ£ . μ΄λ κ² λ°κΎΈλ©΄ μ΅λκ°κ³Ό μ΅μκ°μ΄ κ°κ° $\sqrt{a^2 + b^2}$ κ³Ό $-\sqrt{a^2 + b^2}$ μ΄ λλ κ²μ μ½κ² μμ€ μ μκ² μ΅λλ€. (λ¬Όλ‘ , ν©μ±λ μΌκ°ν¨μμ κ°μ λ²μκ° $0$λΆν° $2\pi$κ°μ΄ νλ©΄ μμ κ°μ 거리μ μλ μ μ λ€ ννν μ μκ² λμ΄μΌκ² μ£ ?)
λλΆλΆμ λ¬Έμ λ μ΄λ κ² μ΅λκ°μ΄λ μ΅μκ°μ λν΄ λ¬Όμ΄λ΄ λλ€. νμ§λ§, μ¬κΈ°μ λ§μ νμλ€μ΄ ν·κ°λ € νλ κ²μ΄ μ $\alpha$μ $\beta$μ λλ€. λ€λ₯Έ μ°Έκ³ μλ₯Ό 보면 $\alpha$μ $\beta$λ₯Ό $a$μ $b$μ λν΄μ ννν μμ΄ μ°Έ λ§μ΄ 보μ΄λλ°, μ΄λ₯Ό κ΅³μ΄ νλ€κ² μΈμ°λ νμλ€μ΄ μμ΅λλ€. κ·Έλ¬μ§ μμλ λ©λλ€. κ·Έλ¬λ©΄, μ¬κΈ°μ $\alpha$μ $\beta$κ° μ μ€μνκ°? λ°λ‘ $\theta$κ° μΌλ§μΌ λ μ΅λμ΄κ³ μ΅μμΈμ§ λ¬Έμ μμ 묻기 λλ¬Έμ΄μ£ .
μΌλ°μ μΌλ‘λ $\sin$μ $\dfrac{\pi}{2}$μΌ λ μ΅λ, $\dfrac{3}{2} \pi$μΌ λ μ΅μμ΄λ―λ‘
$$ \theta + \alpha = \frac{\pi}{2},\ \frac{3}{2}\pi$$
λ₯Ό μ¬μ©νμ¬ $\theta$λ₯Ό ꡬν©λλ€.
λ무 νλ€μ§ μμλμ? κ·Έλμ, μ΄λ₯Ό μ’ λ μ½κ³ μλ€λ₯Έ κ΄μ μμ λ°λΌλ³΄κ³ μ ν©λλ€.
벑ν°μ 벑ν°μ λ΄μ
(μ΄λ―Έ 벑ν°μ λ΄μ μ μκ³ κ³μ λΆλ€μ λμ΄κ°μ λ μ’μ΅λλ€)
벑ν°λ, κ³ λ±νκ΅ λ΄μμλ ν¬κΈ°μ λμμ λ°©ν₯μ κ°μ§λ μμΌλ‘ μ μν©λλ€. κ·Έλμ ννλ νμ΄νλ‘ νννμ£ . νμ§λ§, μ¬μ€ μνμμλ 벑ν°κ³΅κ°μ΄λΌλ κ²μ νΉλ³ν μ μνμ¬ κ·Έκ²μ μμμ΄κΈ°λ§ νλ©΄ 벑ν°λΌκ³ λΆλ¦ λλ€. κ·Έλμ μ§κ΄μ μΌλ‘ λ°μλ€μ΄κΈ° νλ $n$μ°¨μ 벑ν°κ°μ κ²λ μμ£ .
μμΌλ‘μ μ€λͺ μ μν΄ μμ μ λν μμΉλ²‘ν°λ‘ νννκ² μ΅λλ€. μμΉλ²‘ν°λ μ΄λ€ μ μ κΈ°μ€μ μΌλ‘ ν 벑ν°λ‘, λ§μΌ μ’νκ³μ μμ μ κΈ°μ€μ μΌλ‘ μ‘μμΌλ©΄, κ·Έ μ μ μ’νμμ κΈ°μ€μ μ μ’νλ₯Ό λΊ κ²μ΄ μμΉλ²‘ν°κ° λλ μ μ΄μ£ .
μ¦, λ§μΌ κΈ°μ€μ μ μμ μΌλ‘ νλ€λ©΄ κ·Έλ₯ κ·Έ μ μ μ’νκ° μμΉλ²‘ν°κ° λλ€κ³ μκ°νμλ©΄ λ©λλ€. μμΌλ‘λ μ΄λ κ² μμ μ κΈ°μ€μ μΌλ‘ ν μμΉλ²‘ν°λ§μ μ¬μ©νκ² μ΅λλ€. μ΄λ κ² λ²‘ν°λ μμμμΌλ‘ ννλ μ μκ³ , κ°κ° ($x$μ±λΆ, $y$μ±λΆ)μ λνλ λλ€. μμΌλ‘λ μμΉλ²‘ν°λ₯Ό νλμ μλ¬Έμλ‘ μ°κ³ , λ³Όλμ²΄λ‘ λνλ΄κ² μ΅λλ€.
κ·Έλ¦¬κ³ , λ λ²‘ν° $\mathbf{p} = (p_1 , p_2)$μ $\mathbf{q} = (q_1,q_2)$ μ λ΄μ μ λ€μκ³Ό κ°μ΄ μ μν©λλ€.
$$\mathbf{p} \cdot \mathbf{q} = p_1 q_1 + p_2 q_2$$
μ΄λ‘λΆν° μ»μ΄μ§λ μ±μ§λ‘ 벑ν°μ ν¬κΈ°λ₯Ό $||\mathbf{p}|| = \sqrt{p_1^2 + p_2^2}$ λΌκ³ μ μνκ³ , λ 벑ν°μ μ¬μκ°μ $\theta$ λΌκ³ νλ©΄, λ€μκ³Ό κ°μ΅λλ€.
$$ \mathbf{p} \cdot \mathbf{q} = ||\mathbf{p}|| \ ||\mathbf{q}|| \cos\theta $$
λν, λ΄μ μ κ΅νλ²μΉμ΄ μ±λ¦½ν©λλ€.
κ·ΈλΌ, μ΄λ₯Ό νμ©ν΄λ³΄μ£ .
λ΄μ μ μ΄μ©ν μΌκ°ν¨μμ ν©μ±
μΌκ°ν¨μμ ν©μ±μ 보면, $a\sin\theta + b\cos\theta$μ κΌ΄μ λλ€. λκ° κ³±ν΄μ Έ μκ³ , λν΄μ Έ μλ κΌ΄μ΄λκΉ λ΄μ κ³Ό μ°κ΄μ§μ μ μμ κ² κ°μ΅λλ€. μ¦, μ΄λ κ² μ¨λ³΄λ κ²μ΄μ£ .
$$a\sin\theta + b\cos\theta = (\cos\theta , \sin\theta)\cdot(b,a)$$
κ΅³μ΄ λ²‘ν°λ₯Ό $(\sin\theta,\cos\theta)$κ° μλ $(\cos\theta,\sin\theta)$λΌκ³ μ΄λ°λ μ΄μ κ° μμ΅λλ€. λ°λ‘, μ’ννλ©΄μμ $(\cos\theta,\sin\theta)$λ λ°μ§λ¦μ κΈΈμ΄κ° $1$μΈ λ¨μμ μμ ν μ μ λνλ΄κΈ° λλ¬Έμ΄μ£ . μ¦, μ’ννλ©΄μ λ λ²‘ν° $(\cos\theta,\sin\theta)$μ $(b,a)$λ₯Ό νννλ©΄ λ€μκ³Ό κ°μ΅λλ€.
κ·Έλ λ€λ©΄, λ΄μ μ μ±μ§μ μν΄ λ 벑ν°κ° ννν λ, μ¦ $\theta = \beta$μΌ λ $\cos(\theta-\beta)$μ κ°μ΄ $1$μ΄ λλ―λ‘ μ΅λκ° λκ² κ΅°μ. λ°λλ‘, λ 벑ν°μ λ°©ν₯μ΄ λ°λμΌ λ, μ¦ $\theta = \beta + \pi$μΌ λ $\cos(\theta - \beta)$μ κ°μ΄ $-1$μ΄ λλ μ΅μκ° λ©λλ€.
(μ κ·Έλ¦Όμμ μ¬μκ°μ΄ $\theta - \beta$λΌλ μ μ μκ°νλ©΄ λ©λλ€)
λ€μ λ§ν΄μ, κ·Έλ₯ μ΅λμΌ λμ $\theta$λ $\beta$, μ΅μμΌ λλ $\beta + \pi$κ° λλ€λ κ²μ λλ€. μ¦, κ΅³μ΄ μ΄λ ΅κ² μΈμ°λ €κ³ νμ§ μμλ μ κ·Έλ¦Όλ§ κ·Έλ¦¬λ©΄ λλ€λ μλ―Έμ΄μ£ .
$(\cos\theta,\sin\theta)$μ ν¬κΈ°λ $\sqrt{\cos^ \theta + \sin^2 \theta} = 1$μ΄κ³ $(b,a)$μ ν¬κΈ°λ $\sqrt{a^2 + b^2}$μ΄λ―λ‘ ν©μ±μ λ€μκ³Ό κ°μ΅λλ€.
$$a\sin\theta + b\cos\theta = (\cos\theta , \sin\theta)\cdot(b,a) = \sqrt{a^2 + b^2} \cos(\theta-\beta)$$
(μ°μ! μκ³ μλ μκ³Ό κ°λ€μ!) μ€μ λ‘ μ΄ $\beta$κ° μμμμ $\beta$κ° λ§μ΅λλ€.
μ¬μΈμ λν΄ μ 리νκ³ μΆμΌμλ€λ©΄ μ μ ν $\dfrac{\pi}{2}$λ₯Ό λνκ³ λΉΌλ©΄ λκ² μ£ .
볡μμλ₯Ό μ΄μ©ν μΌκ°ν¨μμ ν©μ±
(λ¬Έμ λ₯Ό 빨리 νκΈ°λ§μ μν μ¬λλ€μ μ΄ ννΈλ₯Ό λ°μ΄λμ΄λ λ©λλ€.)
μΌκ°ν¨μμ κ΄λ ¨μλ κ²μ΄ λ μμ΅λλ€. λ°λ‘, 볡μμμΈλ°μ. κ°λ‘μΆμ μ€μμΆμΌλ‘, μΈλ‘μΆμ νμμΆμΌλ‘ ν 볡μνλ©΄μμ λͺ¨λ 볡μμλ₯Ό λμμν¬ μ μμ΅λλ€. λ°λΌμ, 볡μμ λν 벑ν°μ²λΌ ν¬κΈ°μ λ°©ν₯μ κ°μ§λ κ°μΌλ‘ μκ°ν μ μμ΅λλ€. κ·Έλ¦¬κ³ , μ€μΌλ¬ 곡μμ΄λΌλ μλν 곡μμ΄ μμ£ . λ€μκ³Ό κ°μ΅λλ€.
$$e^{i \theta} = \cos\theta + i\sin\theta$$
μ¦, λͺ¨λ 볡μμλ₯Ό μμ κ°μ μ§μν¨μκΌ΄λ‘ ννν μ μλ€λ κ²μ΄μ£ . μΌλ°μ μΌλ‘ 볡μμ $z$λ₯Ό λ€μκ³Ό κ°μ΄ ννν μ μμ΅λλ€.
$$z = r e^{i\phi}$$
μ¬κΈ°μ $r$μ $z$μ ν¬κΈ°, $\theta$λ $z$μ νΈκ°μ λλ€.
μ΄λ₯Ό ν΅ν΄ λ€μ μΌκ°ν¨μμ ν©μ±μ μκ°ν΄λ΄ μλ€. λ€μκ³Ό κ°μ λ 볡μμλ₯Ό μκ°ν μ μμ΅λλ€.
$$z_1 = \cos\theta + i\sin\theta$$
$$z_2 = b+ai$$
κ·Έλ¬λ©΄ κ°κ°μ μ€μΌλ¬ 곡μμ μν΄ λ€μκ³Ό κ°μ΄ ννλ μ μμ΅λλ€.
$$z_1 = e^{i\theta}$$
$$z_2 = \sqrt{a^2 + b^2} e^{i\beta}$$
λμ λλ λ³΄μ£ . κ·Έλ¬λ©΄ λ€μκ³Ό κ°μ΅λλ€.
$$ \frac{z_1}{z_2} = \frac{\cos\theta+i\sin\theta}{b+ai} = \frac{1}{\sqrt{a^2 + b^2}} e^{i(\theta-\beta)} $$
λΆλͺ¨μ μ€μνλ₯Ό ν΅ν΄ μμ μ 리νλ©΄,
$$ \frac{(\cos\theta+i\sin\theta)(b-ai)}{\sqrt{a^2 + b^2}} = \frac{(a\sin\theta + b\cos\theta)+(b\sin\theta - a\cos\theta)i}{\sqrt{a^2+b^2}} = e^{i(\theta-\beta)} $$
μ€μΌλ¬ 곡μμ λ°λΌ $e^{i(\theta-\beta)} = \cos(\theta-\beta) + i\sin(\theta-\beta)$μ΄λ―λ‘, 볡μμ μλ±μ μ μ©νλ©΄ μ΄λ κ² μ 리λ μ μμ΅λλ€.
$$ a\sin\theta + b\cos\theta = \sqrt{a^2 + b^2} \cos(\theta-\beta) $$
$$ b\sin\theta - a\cos\theta = \sqrt{a^2 + b^2} \sin(\theta-\beta) $$
μ€! μ΄λ κ² ν΄λ κ²°κ³Όκ° λμ€λκ΅°μ!
λ§μΌ $\sin$μ λν΄ μ 리νκ³ μΆμΌμλ€λ©΄ $\theta$ λμ $\theta + \dfrac{\pi}{2}$λ₯Ό λμ νλ©΄ λ©λλ€.
$$ b\sin\left(\theta+\frac{\pi}{2}\right) - a\cos\left(\theta+\frac{\pi}{2}\right) = a\sin\theta + b\cos\theta = \sqrt{a^2 + b^2} \sin\left(\theta + \left(\frac{\pi}{2}-\beta\right)\right) = \sqrt{a^2 + b^2} \sin(\theta+\alpha) $$
λ¨, μ¬κΈ°μ $\alpha = \dfrac{\pi}{2} - \beta$μ λλ€. μ΄λ μμμμ $\alpha$κ° λ§μ΅λλ€.
λ§μΉλ©°
μ΄ λ°©λ²μ΄ μ΅νλλ° μ‘°κΈ κ±Έλ¦΄μ§λ λͺ°λΌλ μ μ©νκ² μ¬μ©νλ©΄ μ λ§ μ’μ λ°©λ²μ λλ€. λκ° μμμμλ κ΄κ³κ° μλκ² κ°μ΅λλ€. κ·Έκ²μ νλ² κ°μΈμ μΌλ‘ μκ°νλ©΄ μ’μ κ² κ°μ΅λλ€.
'μνπ' μΉ΄ν κ³ λ¦¬μ λ€λ₯Έ κΈ
μμ°μ κ±°λμ κ³±μ ν© μΌλ°ν (μ‘°ν©λ‘ μ μ¦λͺ ) (1) | 2022.02.28 |
---|---|
μ λ°λ 곡μμ κ΄ν κ³ μ°° - 1. μ¦λͺ (0) | 2021.07.29 |
νλ³Έ(+νλ³Ένκ· , νλ³ΈλΆμ°)μ κ΄νμ¬ (0) | 2020.07.27 |
#2 (1) | 2020.04.20 |
κ°μ μ΄λ±λΆμ μ λ°©μ μ (1) | 2020.04.20 |