각의 이등분선의 방정식

직선의 기울기

원점을 지나는 기울기가 다른 두개의 직선 $l_1 : y = ax$과 $l_2 : y=bx$을 생각하자.

이 직선이 각각 $x$축의 양의 방향과 이루는 각의 크기를 $\alpha$와 $\beta$라고 하면, $\tan \alpha = a$, $\tan \beta = b$임을 배웠다. (단, 여기서 $\beta \ge \alpha$)

두 직선 사이의 각을 $\theta$라고 하면 $\theta = \beta - \alpha$가 된다.

이를 통하여 $\tan \theta$의 값을 구해보면, $$\tan \theta = \tan (\beta - \alpha) = \frac{b-a}{1+ab}$$ 임을 알 수 있다. 이 각을 이등분하면 $\dfrac{\theta}{2}$가 되므로, $\tan \dfrac{\theta}{2}$ 의 값을 구하기 위해 반각공식을 사용하자.

$$\tan \frac{\theta}{2} = \sqrt{\frac{1-\cos \theta}{1+ \cos \theta}} = \frac{\sqrt{\sec \theta - 1}}{\sqrt{\sec \theta + 1}} = \frac{\sec\theta -1}{\sqrt{\sec^2 \theta - 1}} = \frac{\sec \theta - 1}{\tan \theta}$$ 이다. 그리고

$$\sec \theta = \sqrt{1+ \left(\frac{b-a}{1+ab}\right)^2} = \frac{\sqrt{(a^2 + 1)(b^2 + 1)}}{1+ab}$$ 임을 사용하면 결과적으로 다음과 같은 결과가 도출된다.

$$\tan \frac{\theta}{2} = \frac{\sqrt{(a^2 +1)(b^2 + 1)} - (1+ab)}{b-a}$$

이등분하는 직선이 $x$축 양의 방향과 이루는 각은 $\dfrac{\theta}{2} + \alpha$이므로, 이 직선을 $l_h : y = mx$라 하면,

$m = \tan\left(\dfrac{\theta}{2}+\alpha\right)$이다. 이를 계산하면 다음과 같다.

$$\tan\left(\dfrac{\theta}{2}+\alpha\right) = \frac{\tan \frac{\theta}{2}+\tan \alpha}{1 - \frac{\theta}{2} \tan{\alpha}} = \frac{\sqrt{(a^2 + 1)(b^2 + 1)} - (1+ab) + (b-a)a} {b-a - a\left(\sqrt{(a^2 + 1)(b^2 + 1)} - (1+ab)\right)}$$

$$= \frac{\sqrt{b^2 + 1} - \sqrt{a^2 + 1}}{b\sqrt{a^2 + 1} - a\sqrt{b^2 + 1}}$$ 이를 유리화하여 간단히 하면 다음과 같은 결과가 나온다. $$m = \frac{\sqrt{(a^2 + 1)(b^2 + 1)} + ab - 1}{a+b}$$

좀 더 나아가서 두 직선 $l_1$, $l_2$가 이루는 두 각의 합의 $\tan$값의 역수를 $k$라 하면, $k=\dfrac{1-ab}{a+b}$가 되고, 이를 이용해 $m$을 표현하면 다음과 같다. $$m = \sqrt{\frac{a^2 + 2ab + b^2 + a^2 b^2 - 2ab + 1}{(a+b)^2}} - \frac{1-ab}{a+b} = \sqrt{1 + \left( \frac{1-ab}{a+b} \right)^2} - \frac{1-ab}{a+b}$$ $$= -k + \sqrt{1+k^2}$$

 

이렇게 나온 $m$의 값은 이차방정식 $x^2 + 2kx - 1 = 0$의 한 해다. 즉, 또다른 해는 두 직선이 만드는 다른 각 $\pi - \theta$을 이등분 하는 직선의 기울기이다.

$a=1$, $b=3$일 때의 두 직선을 이등분하는 두 직선

일반적인 함수?

이를 응용하면, 두 다항함수의 사이를 완벽히 이등분하는 함수를 찾을 수 있다. 예를 들면, $y=ax^2$과 $y=bx^2$, 그리고 $y=mx^2$의 그래프를 그려보아라. 두 접선이 이루는 각을 이등분하는 함수이다. 그리고, 함수 $f(x)$가 주어졌을 때 그 함수와 실수 $a$, $b$에 대하여 $af(x)$와 $bf(x)$을 이등분 할 수 있다. (접선이 이루는 각을 이등분 하는 함수)

 

쓸데없는 짓이긴 했지만, 아주 헛되진 않았다. 확인해본 결과, $a$와 $b$가 자연수일 때는 $m$의 값이 기하평균과 조화평균의 사이에 있었으며, 이를 응용하여 다양한 활동을 할 수 있을 것으로 보인다.