특수한 분수함수의 극대, 극소

분수함수란 무엇일까? 대수학에선 두 다항함수의 비로 나타내어지는 함수를 분수함수라고 한다. 고등학교 1학년 때는 분자와 분모 모두 일차식 이하의 다항식으로 구성되어있는 경우를 다룬다. 하지만, 미적분 과목을 학습하면서 일반적인 다항식으로 구성되어있는 경우를 배운다. 물론, 이 함수의 완벽한 정보를 도출 해낸다기 보다는, 그것의 극값, 변곡점, 그래프의 개형 등만을 중심적으로 본다. 본 글에서는, 물론 일반적인 함수이면 좋겠지만, 그렇지 않은 특수한 분수함수에 대해 다루었다.

기함수인 분수함수

다음과 같은 꼴의 함수를 생각할 수 있다. 

$$f(x) = \frac{cx}{ax^2 + b}$$

이와 같은 분수 꼴의 함수가 주어졌을 때 극댓값과 극솟값을 구하려면, 일반적으로는 미분을 통하여 극값을 구해야만 하는데, 이 과정에 몫의 미분법이 사용되어 상당히 복잡해진다. 분모는 제곱되고, 괴상하게 나오는 극값을 대입하자니 계산이 무척이나 하기 싫어질 것이다. 하지만, 이러한 기함수꼴, 특히 분모가 (이차) + (상수)꼴로 되어있는 유리함수는 몫의 미분법보다 훨씬 빠르고 간단한 방법이 있다. 그 방법을 소개하려 한다.

삼각치환

기이한 꼴의 적분이나 도형의 좌표를 매개화 할 때 사용하는 방법이 있다. 바로, 삼각함수로 치환하는 것이다. 이를테면,

$$1-x^2 \rightarrow x=\sin \theta \quad \text{혹은} \quad x=\cos \theta \text{로 치환}$$

$$1+x^2 \rightarrow x=\tan \theta \text{로 치환}$$

단, $\theta$의 범위를 잘 생각하며 매개화해야 한다.

극대, 극소 구하기

그렇다면, 삼각치환을 활용하여 $f(x) = \dfrac{cx}{ax^2 + b}$ 꼴의 함수의 극댓값과 극솟값을 알아보자. 구하는 과정을 숙지하면, 계수가 바뀌어도 상관 없기에 먼저 간단한 함수 $\dfrac{2x}{x^2 + 1}$의 극댓값과 극솟값을 알아보자.

 

$x = \tan \theta$ $(-\frac{\pi}{2}<\theta<\frac{\pi}{2})$ 로 치환하면 식은,

 

$$\frac{2 \tan \theta }{\tan ^2 \theta + 1}$$

여기서 $\tan ^2 \theta + 1 = \sec ^2 \theta$이므로 식은 다음과 같다.

$$\frac{2 \tan \theta }{\sec^2 \theta} = 2 \tan \theta \cos^2 \theta = 2 \sin \theta \cos \theta$$

배각공식을 이용하면, $\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$이므로 식은 최종적으로 다음과 같이 정리된다.

$$\sin 2\theta$$

$\tan\theta$는 주어진 범위에서 모든 실수를 표현할 수 있고, 일대일 대응이므로, 주어진 함수의 극대 극소는 결과적으로 나온 $\sin 2\theta$의 극대 극소와 같다. $\sin 2\theta$의 극대는 $\theta = \frac{\pi}{4}$ 즉 $x=1$일 때 $1$, 극소는 $\theta = -\frac{\pi}{4}$ 즉 $x=-1$일 때 $-1$이다. 따라서, 주어진 함수의 극대, 극소는 $1$, $-1$임을 알 수 있다.

 

$y=\sin 2x$와 $y=\dfrac{2x}{x^2 + 1}$의 그래프. 원점 근방에서 비슷하고, 같은 극댓값, 극솟값을 가지는 것을 알 수 있다.

분자에 상수항이 포함된 경우

사실, 위의 꼴의 함수는 몫의 미분법이 그렇게 귀찮지는 않다. 하지만, 다음과 같은 경우는 정말로 복잡하다. 다음과 같은 꼴의 함수를 생각할 수 있을 것이다.

$$f(x) = \frac{cx + d}{ax^2 + b}$$

평행이동은 아니지만, 분자에 상수항이 추가된 꼴이다. 이 또한, 몫의 미분법이 아닌 삼각치환을 사용하면 그나마(?) 쉽게 극대, 극소를 구할 수 있다. 이 또한 쉬운 함수 예시를 들어 설명하겠다.

 

간단한 함수 $\dfrac{2x+1}{x^2 + 1}$의 극대, 극소를 구해보자. 마찬가지로 $x = \tan \theta$ $(-\frac{\pi}{2}<\theta<\frac{\pi}{2})$ 로 치환하면 식은,

$$\frac{2 \tan \theta + 1 }{\tan ^2 \theta + 1} = \frac{2 \tan \theta + 1 }{\sec^2 \theta} = (2 \tan \theta + 1)\cos^2 \theta$$

똑같은 과정을 거치면 식은 다음과 같아진다.

$$\sin 2\theta + \cos^2 \theta$$

반각공식을 사용하면, $\cos^2 \theta = \dfrac{1+\cos 2\theta}{2}$이므로,

$$\sin 2\theta + \frac{1}{2} \cos 2\theta + \frac{1}{2}$$

$\sin$과 $\cos$의 합의 최대 최소는 합성으로 쉽게 구할 수 있다.

 

따라서, 최대는 $\dfrac{1}{2} + \sqrt{1 + \left(\dfrac{1}{2}\right)^2} = \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2} $, 최소는 $\dfrac{1}{2} - \sqrt{1 + \left(\dfrac{1}{2}\right)^2} = \dfrac{1 - \sqrt{5}}{2} $이다.

 

두 함수의 그래프. $x=0$근방에서 서로 비슷하고, 같은 극댓값과 극솟값을 가진다는 것을 알 수 있다.

이렇듯, 삼각치환 방법을 사용하면, 특수한 경우에 복잡한 계산을 조금이나마 빠르고 간단하게 만들 수 있다. 이 방법이 최고인 것은 아니다. 변곡점을 구하는 문제에서는 조금 더 생각이 필요할 것 같고, 더 일반적인 경우에 까지 적용할 수 있도록 방법을 모색해야 한다. 하지만, 이러한 방법도 있다는 것을 알아두고 가면 좋겠다.