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모바일 앱에서는 수식이 제대로 표시되지 않을 수 있습니다. 양해 부탁드립니다.

 

첫 번째 고난도 문제입니다. 고등학교 수준에서 풀 수 있을 정도의 난이도와 독창성을 가진 문제를 직접 제작해 보았습니다. 

이번 문제는 (지금은 교육과정에서 제외된) 점화식에서의 수열의 일반항을 찾는 문제인데요, 각종 아이디어가 많이 필요한 문제입니다.

그러면, 문제를 보겠습니다.

 

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양항 단조증가수열 $y_n$은 $y_1 = \sqrt{3}$이고, 다음을 만족한다. $$(y_{n+1})^2 - 2y_n y_{n+1} -1 = 0 ~ (n \geq 1)$$ 이때, $y_{12}$를 구하시오.

 

어려운 문제이기 때문에, 힌트가 있습니다. 보고 풀어도 좋습니다.

• $y_{n+1} = f(y_n)$꼴로 나타내기.
• $y_n = \tan x_n$으로 치환하기.

 

 

되도록 풀이는 보지 않고 푸는 것을 추천하지만, 정말 모르겠다! 하는 경우에는 열람하셔도 좋습니다.

 

 

$y_{n+1} = f(y_n)$꼴로 바꿔주면, 다음과 같다.

$$y_{n+1} = y_n + \sqrt{1+ {y_n}^2}$$

$y_n$은 단조증가수열이고, 모든 항이 양수이므로, 위와 같이 식을 변형하여도 상관없다.

여기서, $y_n = \tan{x_n}$으로 치환하자. 단, 이때 $0< x_n< \frac{\pi}{2}$이다.

그러면 위의 점화식이 다음과 같이 변한다.

$$\tan{x_{n+1}} = \tan{x_n} + \sec{x_n}$$

 

일반적으로는 $\tan$함수의 합성은 불가능하지만 (간단하게 정리가 되지 않는다), 위와 같은 경우는 변형하면 익숙한 꼴로 바꿀 수 있다.

$\tan{x_n} + \sec{x_n} = \dfrac{\sin{x} + 1}{\cos{x}}$이고, 반각공식을 활용하면 $\cos x_{n} = \dfrac{1 - \tan ^2 {\dfrac { x_{n} }{2} }}{1 + \tan ^2 {\dfrac{ x_{n} }{2} }  }$, $\sin x_{n} = \dfrac{2\tan ^2 {\dfrac { x_{n} }{2} }}{1 + \tan ^2 {\dfrac{ x_{n} }{2} }  }$ 이므로, 식을 잘 정리해보면 다음과 같은 식이 나온다.

$$\tan{x_{n+1}} = \tan \left( \dfrac{\pi}{4} + \dfrac{x_n}{2} \right)$$

여기서 $0 <\dfrac{\pi}{4} + \dfrac{x_n}{2} < \dfrac{\pi}{2}$ 이므로, $\tan$함수는 일대일 대응이 되어 자연적으로 $x_{n+1} = \dfrac{x_n}{2} + \dfrac{\pi}{4}$ 이다. 이 점화식은 간단히 풀 수 있으며, 그 결과는 $x_n = \dfrac{\pi}{2} - \dfrac{\pi}{3 \cdot 2^n}$이다. 따라서, $y_n = \cot \left( \dfrac{\pi}{3 \cdot 2^n} \right)$ 이고, $y_{12} = \cot \left( \dfrac{\pi}{3 \cdot 2^{12}} \right)$이다.

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어떠셨나요? 아이디어가 필요한 문제였습니다. 

다음에도 다양한 문제를 제작하여 찾아뵙겠습니다.