๋ถ์ํจ์๋ ๋ฌด์์ผ๊น? ๋์ํ์์ ๋ ๋คํญํจ์์ ๋น๋ก ๋ํ๋ด์ด์ง๋ ํจ์๋ฅผ ๋ถ์ํจ์๋ผ๊ณ ํ๋ค. ๊ณ ๋ฑํ๊ต 1ํ๋ ๋๋ ๋ถ์์ ๋ถ๋ชจ ๋ชจ๋ ์ผ์ฐจ์ ์ดํ์ ๋คํญ์์ผ๋ก ๊ตฌ์ฑ๋์ด์๋ ๊ฒฝ์ฐ๋ฅผ ๋ค๋ฃฌ๋ค. ํ์ง๋ง, ๋ฏธ์ ๋ถ ๊ณผ๋ชฉ์ ํ์ตํ๋ฉด์ ์ผ๋ฐ์ ์ธ ๋คํญ์์ผ๋ก ๊ตฌ์ฑ๋์ด์๋ ๊ฒฝ์ฐ๋ฅผ ๋ฐฐ์ด๋ค. ๋ฌผ๋ก , ์ด ํจ์์ ์๋ฒฝํ ์ ๋ณด๋ฅผ ๋์ถ ํด๋ธ๋ค๊ธฐ ๋ณด๋ค๋, ๊ทธ๊ฒ์ ๊ทน๊ฐ, ๋ณ๊ณก์ , ๊ทธ๋ํ์ ๊ฐํ ๋ฑ๋ง์ ์ค์ฌ์ ์ผ๋ก ๋ณธ๋ค. ๋ณธ ๊ธ์์๋, ๋ฌผ๋ก ์ผ๋ฐ์ ์ธ ํจ์์ด๋ฉด ์ข๊ฒ ์ง๋ง, ๊ทธ๋ ์ง ์์ ํน์ํ ๋ถ์ํจ์์ ๋ํด ๋ค๋ฃจ์๋ค.
๊ธฐํจ์์ธ ๋ถ์ํจ์
๋ค์๊ณผ ๊ฐ์ ๊ผด์ ํจ์๋ฅผ ์๊ฐํ ์ ์๋ค.
$$f(x) = \frac{cx}{ax^2 + b}$$
์ด์ ๊ฐ์ ๋ถ์ ๊ผด์ ํจ์๊ฐ ์ฃผ์ด์ก์ ๋ ๊ทน๋๊ฐ๊ณผ ๊ทน์๊ฐ์ ๊ตฌํ๋ ค๋ฉด, ์ผ๋ฐ์ ์ผ๋ก๋ ๋ฏธ๋ถ์ ํตํ์ฌ ๊ทน๊ฐ์ ๊ตฌํด์ผ๋ง ํ๋๋ฐ, ์ด ๊ณผ์ ์ ๋ชซ์ ๋ฏธ๋ถ๋ฒ์ด ์ฌ์ฉ๋์ด ์๋นํ ๋ณต์กํด์ง๋ค. ๋ถ๋ชจ๋ ์ ๊ณฑ๋๊ณ , ๊ดด์ํ๊ฒ ๋์ค๋ ๊ทน๊ฐ์ ๋์ ํ์๋ ๊ณ์ฐ์ด ๋ฌด์ฒ์ด๋ ํ๊ธฐ ์ซ์ด์ง ๊ฒ์ด๋ค. ํ์ง๋ง, ์ด๋ฌํ ๊ธฐํจ์๊ผด, ํนํ ๋ถ๋ชจ๊ฐ (์ด์ฐจ) + (์์)๊ผด๋ก ๋์ด์๋ ์ ๋ฆฌํจ์๋ ๋ชซ์ ๋ฏธ๋ถ๋ฒ๋ณด๋ค ํจ์ฌ ๋น ๋ฅด๊ณ ๊ฐ๋จํ ๋ฐฉ๋ฒ์ด ์๋ค. ๊ทธ ๋ฐฉ๋ฒ์ ์๊ฐํ๋ ค ํ๋ค.
์ผ๊ฐ์นํ
๊ธฐ์ดํ ๊ผด์ ์ ๋ถ์ด๋ ๋ํ์ ์ขํ๋ฅผ ๋งค๊ฐํ ํ ๋ ์ฌ์ฉํ๋ ๋ฐฉ๋ฒ์ด ์๋ค. ๋ฐ๋ก, ์ผ๊ฐํจ์๋ก ์นํํ๋ ๊ฒ์ด๋ค. ์ด๋ฅผํ ๋ฉด,
$$1-x^2 \rightarrow x=\sin \theta \quad \text{ํน์} \quad x=\cos \theta \text{๋ก ์นํ}$$
$$1+x^2 \rightarrow x=\tan \theta \text{๋ก ์นํ}$$
๋จ, $\theta$์ ๋ฒ์๋ฅผ ์ ์๊ฐํ๋ฉฐ ๋งค๊ฐํํด์ผ ํ๋ค.
๊ทน๋, ๊ทน์ ๊ตฌํ๊ธฐ
๊ทธ๋ ๋ค๋ฉด, ์ผ๊ฐ์นํ์ ํ์ฉํ์ฌ $f(x) = \dfrac{cx}{ax^2 + b}$ ๊ผด์ ํจ์์ ๊ทน๋๊ฐ๊ณผ ๊ทน์๊ฐ์ ์์๋ณด์. ๊ตฌํ๋ ๊ณผ์ ์ ์์งํ๋ฉด, ๊ณ์๊ฐ ๋ฐ๋์ด๋ ์๊ด ์๊ธฐ์ ๋จผ์ ๊ฐ๋จํ ํจ์ $\dfrac{2x}{x^2 + 1}$์ ๊ทน๋๊ฐ๊ณผ ๊ทน์๊ฐ์ ์์๋ณด์.
$x = \tan \theta$ $(-\frac{\pi}{2}<\theta<\frac{\pi}{2})$ ๋ก ์นํํ๋ฉด ์์,
$$\frac{2 \tan \theta }{\tan ^2 \theta + 1}$$
์ฌ๊ธฐ์ $\tan ^2 \theta + 1 = \sec ^2 \theta$์ด๋ฏ๋ก ์์ ๋ค์๊ณผ ๊ฐ๋ค.
$$\frac{2 \tan \theta }{\sec^2 \theta} = 2 \tan \theta \cos^2 \theta = 2 \sin \theta \cos \theta$$
๋ฐฐ๊ฐ๊ณต์์ ์ด์ฉํ๋ฉด, $\sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta$์ด๋ฏ๋ก ์์ ์ต์ข ์ ์ผ๋ก ๋ค์๊ณผ ๊ฐ์ด ์ ๋ฆฌ๋๋ค.
$$\sin 2\theta$$
$\tan\theta$๋ ์ฃผ์ด์ง ๋ฒ์์์ ๋ชจ๋ ์ค์๋ฅผ ํํํ ์ ์๊ณ , ์ผ๋์ผ ๋์์ด๋ฏ๋ก, ์ฃผ์ด์ง ํจ์์ ๊ทน๋ ๊ทน์๋ ๊ฒฐ๊ณผ์ ์ผ๋ก ๋์จ $\sin 2\theta$์ ๊ทน๋ ๊ทน์์ ๊ฐ๋ค. $\sin 2\theta$์ ๊ทน๋๋ $\theta = \frac{\pi}{4}$ ์ฆ $x=1$์ผ ๋ $1$, ๊ทน์๋ $\theta = -\frac{\pi}{4}$ ์ฆ $x=-1$์ผ ๋ $-1$์ด๋ค. ๋ฐ๋ผ์, ์ฃผ์ด์ง ํจ์์ ๊ทน๋, ๊ทน์๋ $1$, $-1$์์ ์ ์ ์๋ค.
๋ถ์์ ์์ํญ์ด ํฌํจ๋ ๊ฒฝ์ฐ
์ฌ์ค, ์์ ๊ผด์ ํจ์๋ ๋ชซ์ ๋ฏธ๋ถ๋ฒ์ด ๊ทธ๋ ๊ฒ ๊ท์ฐฎ์ง๋ ์๋ค. ํ์ง๋ง, ๋ค์๊ณผ ๊ฐ์ ๊ฒฝ์ฐ๋ ์ ๋ง๋ก ๋ณต์กํ๋ค. ๋ค์๊ณผ ๊ฐ์ ๊ผด์ ํจ์๋ฅผ ์๊ฐํ ์ ์์ ๊ฒ์ด๋ค.
$$f(x) = \frac{cx + d}{ax^2 + b}$$
ํํ์ด๋์ ์๋์ง๋ง, ๋ถ์์ ์์ํญ์ด ์ถ๊ฐ๋ ๊ผด์ด๋ค. ์ด ๋ํ, ๋ชซ์ ๋ฏธ๋ถ๋ฒ์ด ์๋ ์ผ๊ฐ์นํ์ ์ฌ์ฉํ๋ฉด ๊ทธ๋๋ง(?) ์ฝ๊ฒ ๊ทน๋, ๊ทน์๋ฅผ ๊ตฌํ ์ ์๋ค. ์ด ๋ํ ์ฌ์ด ํจ์ ์์๋ฅผ ๋ค์ด ์ค๋ช ํ๊ฒ ๋ค.
๊ฐ๋จํ ํจ์ $\dfrac{2x+1}{x^2 + 1}$์ ๊ทน๋, ๊ทน์๋ฅผ ๊ตฌํด๋ณด์. ๋ง์ฐฌ๊ฐ์ง๋ก $x = \tan \theta$ $(-\frac{\pi}{2}<\theta<\frac{\pi}{2})$ ๋ก ์นํํ๋ฉด ์์,
$$\frac{2 \tan \theta + 1 }{\tan ^2 \theta + 1} = \frac{2 \tan \theta + 1 }{\sec^2 \theta} = (2 \tan \theta + 1)\cos^2 \theta$$
๋๊ฐ์ ๊ณผ์ ์ ๊ฑฐ์น๋ฉด ์์ ๋ค์๊ณผ ๊ฐ์์ง๋ค.
$$\sin 2\theta + \cos^2 \theta$$
๋ฐ๊ฐ๊ณต์์ ์ฌ์ฉํ๋ฉด, $\cos^2 \theta = \dfrac{1+\cos 2\theta}{2}$์ด๋ฏ๋ก,
$$\sin 2\theta + \frac{1}{2} \cos 2\theta + \frac{1}{2}$$
$\sin$๊ณผ $\cos$์ ํฉ์ ์ต๋ ์ต์๋ ํฉ์ฑ์ผ๋ก ์ฝ๊ฒ ๊ตฌํ ์ ์๋ค.
๋ฐ๋ผ์, ์ต๋๋ $\dfrac{1}{2} + \sqrt{1 + \left(\dfrac{1}{2}\right)^2} = \dfrac{1 + \sqrt{5}}{2} $, ์ต์๋ $\dfrac{1}{2} - \sqrt{1 + \left(\dfrac{1}{2}\right)^2} = \dfrac{1 - \sqrt{5}}{2} $์ด๋ค.
์ด๋ ๋ฏ, ์ผ๊ฐ์นํ ๋ฐฉ๋ฒ์ ์ฌ์ฉํ๋ฉด, ํน์ํ ๊ฒฝ์ฐ์ ๋ณต์กํ ๊ณ์ฐ์ ์กฐ๊ธ์ด๋๋ง ๋น ๋ฅด๊ณ ๊ฐ๋จํ๊ฒ ๋ง๋ค ์ ์๋ค. ์ด ๋ฐฉ๋ฒ์ด ์ต๊ณ ์ธ ๊ฒ์ ์๋๋ค. ๋ณ๊ณก์ ์ ๊ตฌํ๋ ๋ฌธ์ ์์๋ ์กฐ๊ธ ๋ ์๊ฐ์ด ํ์ํ ๊ฒ ๊ฐ๊ณ , ๋ ์ผ๋ฐ์ ์ธ ๊ฒฝ์ฐ์ ๊น์ง ์ ์ฉํ ์ ์๋๋ก ๋ฐฉ๋ฒ์ ๋ชจ์ํด์ผ ํ๋ค. ํ์ง๋ง, ์ด๋ฌํ ๋ฐฉ๋ฒ๋ ์๋ค๋ ๊ฒ์ ์์๋๊ณ ๊ฐ๋ฉด ์ข๊ฒ ๋ค.
'์ํ๐' ์นดํ ๊ณ ๋ฆฌ์ ๋ค๋ฅธ ๊ธ
ํ๋ณธ(+ํ๋ณธํ๊ท , ํ๋ณธ๋ถ์ฐ)์ ๊ดํ์ฌ (0) | 2020.07.27 |
---|---|
#2 (1) | 2020.04.20 |
๊ฐ์ ์ด๋ฑ๋ถ์ ์ ๋ฐฉ์ ์ (1) | 2020.04.20 |
๋ํจ์์ ๋ถ์ฐ์์ฑ (43) | 2020.02.27 |
#1 (0) | 2020.02.27 |