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자연수 거듭제곱의 합 일반화 (조합론적 증명)
서론에 앞서, 결론부터 적자면$$\sum\limits_{i=1}^n i^k = \sum_{i = 1}^{k}{}_{n+1} \mathrm{C} _{i+1} ~S(k,i) ~ i!$$을 증명할 것이다.서론$$\sum_{i=1}^n i = \frac{n(n+1)}{2}$$가우스가 어릴적 했다고 전해지는 자연수 $1$부터 $n$까지의 합을 쉽게 구하는 법을 처음 보고 정말 대단하다고 생각했다. 이후에 공부를 좀 더 하면서 이 자연수의 합 공식이 조합(combination)과 굉장히 유사하게 생겼다고 느꼈다. 마치 ${}_{n+1}\mathrm{C}_{2}$로 표현하면 더욱 깔끔할 것 같아 이리저리 자료를 찾다가 마침 자연수 거듭제곱의 합을 조합론적으로 증명한 글을 보게 되었다. 역시! 조합과 관련이 있었다. ..
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신발끈 공식에 관한 고찰 - 1. 증명
고등학교 수학의 최종병기라고 하면 몇가지가 떠오릅니다. 로피탈 정리, 여러가지 근사... 그리고 신발끈 공식. 이들은 모두 고등학교에서 정식적으로 배우지는 않지만, 신기하게도 많은 학생들이 알고있는 테크닉입니다. 특히 신발끈 공식은 다양한 방법으로 응용되어 사용될 수 있으므로, 그것에 관해 약간의 고찰을 해보는 시간을 갖겠습니다. 신발끈 공식이란? 위와 같은 삼각형이 주어졌을때, 이 삼각형의 넓이는 어떻게 구할까요? 밑변과 높이의 길이를 하나하나 구하기에는 너무나 힘들어 보입니다. 이 때 쓸 수 있는 공식이 바로 신발끈 공식 (Shoelace Formula) 입니다. 반시계 방향으로 점 $\mathrm{P}_1$, $\mathrm{P}_2$, $\mathrm{P}_3$가 주어졌을 때, 삼각형의 넓이 $A..
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삼각함수의 합성의 색다른 관점
현행 교육과정에서 삼각함수의 합 꼴이 나와있을 때, 그것의 최대나 최소를 구하는 방법은 삼각함수의 합성이 있습니다. (물론, 미분해서 극값 찾아도 되지만 굳이...) 삼각함수의 합성이란 무엇이냐... 그러니까 이런 것을 말합니다. $$a \sin \theta + b \cos \theta = \sqrt{a^2 + b^2} \sin (\theta + \alpha)$$ $$a \sin \theta + b \cos \theta = \sqrt{a^2 + b^2} \cos (\theta - \beta)$$ 즉, 같은 각도의 일차 사인함수와 코사인함수의 합을 하나의 삼각함수로 표현할 수 있다는 것이죠. 이렇게 바꾸면 최댓값과 최솟값이 각각 $\sqrt{a^2 + b^2}$ 과 $-\sqrt{a^2 + b^2}$ 이 ..
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표본(+표본평균, 표본분산)에 관하여
현행 고등학교 교육과정에서 '확률과 통계' 중 '통계' 파트는 설명이 참 부실합니다. 그래서, 개념도 잘 모른 채로 넘어가는 학생들이 많은 것 같습니다. 그럼에도 불구하고 문제는 풀리니, 참으로 아이러니한 단원이죠. 막상 개념을 물으면 잘 대답을 하지 못하는 경우가 많아서 이러한 글을 쓰게 되었습니다. 표집 고등학교 교육과정에서는 표본추출이라는 이름으로 더 잘 알려져 있습니다. 표집은 말 그대로 모집단에서 표본을 추출하는 과정으로, 그 전에 먼저 모집단과 표본에 대해 알아야겠죠. 모집단 표본 정보를 얻고자 하는 관심대상의 전체 집합 - size가 너무 크다! - 모두 조사하기에는 조금 힘들다! 적당한 크기를 가지는 모집단의 부분집합 - size가 적당하다! - 여러개일 수 있다! 당연히, 표본의 크기는 ..
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#2
어려운 문제를 다시 제작해서 돌아왔습니다. 문과도 삼각함수를 배우고, 다항함수의 적분, 부정적분은 할 수 있으므로 이 문제는 문과도 풀 수 있는 문제입니다. 그럼, 문제를 제시하겠습니다. 자연수 $n$과 $0 \le t \le 1$인 $t$에 대하여 원점을 지나는 연속함수 $a_n (t)$의 도함수는 $y=\sin nx$와 $y=\sin (n+t)x$, $x$축이 만드는 닫힌 도형의 개수이다. (단, $0 \le x \le 2\pi$) 이를테면, $n=1$, $t=1$일 때의 그림은 다음과 같으므로, $a'_1(1) = 8$이다. 단, 겹칠 때는 도형이 없다고 가정한다. $a_n (t)$의 역함수의 정의역 변수를 $x$로 한 것을 $a^{-1} _n (x)$이라 할 때, 원점을 지나는 연속함수 $b_n ..
